-Il mio intelletto è mirabilmente colpito dalla tela di questo Raffaello...
L'intelletto è colpito quando preso a pugni.
Comunque, visto che piace brancolare con ignoranza di fronte ai colori tintillanti di una pinacoteca e fingere l'orgasmo di fronte a "quadro di Nobile donna" perché l'ha detto Stendhal (e piace perché fa scopare), io presento qui un pezzo facile per chiarificare la mia posizione tra voi e me: fra cos'è un antidemocratico e un macaco.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov per variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite.
Considerazioni preliminari.
Spiegare cos'è uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria, l'indipendenza, la distribuzione... sarebbe come pretendere di spiegare, di fronte alla Pietà, i punti cardine della cultura rinascimentale italiana, il corpus hermeticum, l'omosessualità di Michelangelo e la merda descritta nel diario del Pontormo per cui, per proseguire nello stile che vi è proprio, passeremo direttamente alle questioni fondamentali di questo teorema.
I
E(|X|)<+oo sse P(|X|>=1)+P(|X|>=2)+... è convergente
Infatti sapendo che E(|X|)=Integrale[0,+oo](P(X>=t)dt)
osservando che la funzione integranda è decrescente e osservando che la sommatoria su indicata è l'approssimazione dal basso dell'integrale (e con un +1 sommato e l'approssimazione dall'alto) si ha la tesi
Q.E.D.
II
(Xn)n successione di v.a. (variabili aleatorie) a valori nei reali i.i.d. (indipendenti, identicamente distribuite) si ha che
E(|X|)<+oo (*) sse P(limsup(Xn>=n))=0
Infatti si ha dal teorema precedente una condizione equivalente a (*) e si ha che l'implicazione da sinistra a destra è evidente dal I lemma di Borel-Cantelli (s'osservi che sono identicamente distribuite e quindi...).
Andiamo a vedere la seconda.
Sia supposto per assurdo che la serie P(|X1|>=1)+P(|X2|>=2)+... non sia convergente: si ha allora tutte le ipotesi del II lemma di Borel-Cantelli verificate e quindi la negazione dell'ipotesi. Assurdo.
Q.E.D.
III
Avendo per noto il concetto di troncatura ad altezza 'a' sia (Xn)n una successione di v.a. i.i.d. sia (Yn)n la successione della v.a. definite a ogni passo n come la troncatura ad altezza 'n' della Xn si ha che
lim E(Yn)=E(X1) (se questa appartiene ad R (**))
(il teorema in questo caso lo diamo per dimostrato per alleggerire, per i vigliacchi e i malfidenti la dimostrazione si ha sfruttando la definizione di troncatura (che non vi ho dato hahaha!) e il teorema di convergenza dominata (dove risulterà fondamentale l'ipotesi (**))
IV
Sia (an)n una successione a valori in R, diremo che converge alla Cesaro se le successione della sua media parziale converge ad l.
Se una serie converge, allora converge alla Cesaro.
In particolare quindi s'applichi il concetto alla tesi del punto III.
Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov relativa a una successione di v.a. indipendenti.
Sia (Xn)n una successione di v.a. indipendenti, con
E(Xn)=0 per ogni n
bn una successione non negativa che diverge
Somme([E(Xn)^2]/(bn^2)) convergente
Allora la successione degli Xn converge alla "Cesaro" (in realtà al posto dell'n previsto nella convergenza alla Cesaro bisogna metterci i bn) a 0 q.c. (quasi certamente)
(il teorema lo diamo per dimostrato)
A questo punto siamo pronti a enunciare e dimostrare la legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov applicata a una successione di v.a. i.i.d..
1. Sia (Xn)n una successione di v.a. i.i.d. con speranza matematica finita allora la successione converge alla Cesaro alla speranza matematica di X1 q.c.
2. Analogo al precedente, ma complementare (la speranza è infinita, la successione diverge)
Dimostrazione
1. Grazie a II abbiamo definito, in sostanza, le caratteristiche degli z (elementi del dominio delle v.a.) q.o. questo ci ha fatto comprendere che da un certo n in poi (definito per ogni z) le troncature ad altezza n e le v.a. effettive sono uguali (basta ragionarci...).
Ragioniamo su queste. Queste sono indipendenti perché composizioni di v.a. indipendenti con funzioni misurabili. Abbiamo perso l'i.d.... Ci piacerebbe applicare la legge forte dei grandi numeri di Komogorov applicata alle v.a. indipendenti, la quale magari ci porterà alla tesi, per farlo però sarebbe necessario avere la speranza delle v.a. pari a 0. Le nostre variabili troncate non ce l'hanno. Le centriamo (ovvero definiamo le v.a. Y come le nostre troncate meno la speranza matematica). Queste verificano le ipotesi del teorema (l'ipotesi della sommatoria, che è la più complessa, ragionandoci ci si salta fuori bisogna solo osservare che VarX<E(X^2), che vige l'identica distribuzione e altre chiccherie che verranno in mente al lettore limitandosi a farsi trascinare dal demone dello spirito dimostrativo). Ora, la domanda è, la tesi del teorema che stiamo usando implica la nostra tesi? Certo basta sfruttare il concetto della convergenza alla Cesaro e la definizione degli z.
2. Il punto due si limita a dimostrare che i punti in cui converge la serie sono punti che appartengono al complementare del limsup(Xn>n) che ha probabilità 1. E quindi la tesi.
Q.E.D.
Chi non ha capito faccia finta che gli è piaciuto. Fa scopare. L'ha detto Stendhal.
Antonio De Oliveira Salazar
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